辅助角公式推导

发布于 2020-11-14  691 次阅读


问题:处理三角函数问题时常会遇到形如\(a\cos x+b\sin x\)的式子,很头疼

结果听到了一种方法去除\(\sqrt{a^2+b^2}\),感觉有点不舒服

法一

由于\(a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}(\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x+\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x)\),于是可设\(\sin\theta=\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos\theta=\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

原式即可化为\(\sin(x+\theta)\),其中\(\tan\theta=\cfrac{a}{b}\)

法二

只因想到了平面向量

设向量\(\overrightarrow{OA}=(\cos\theta,\sin\theta),\overrightarrow{OB}=(a,b)\),那么\(a\cos x+b\sin x=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|AB||BC|\cos(\theta-\varphi)=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\varphi)\),此时\(\tan \varphi=\cfrac{b}{a}\)

这样做思路巧妙,几何意义又明显


明月装饰了你的窗子,你装饰了别人的梦