数学探究——物体能停下来吗

发布于 2020-11-14  323 次阅读


问题:一个质量为\(1\text{kg}\)物体在水平桌面上以\(1\text{m}/\text{s}\)的初速度向右做直线运动,它受到的摩擦力大小为:\(f=kv\),这里令常数\(k=1\text{kg}/\text{m}\),右方向为正方向。那么这个物体:

  1. 能停下来吗?
  2. 若水平桌面长度一定,物体不会掉落,求桌面右边缘到物体距离的最小值\(L\)。

鉴于所有单位为国际制单位,在计算的时候单位可以省略。

首先,物体只受到摩擦力,则:\(f=ma\),又由于\(m=1\text{kg}\),\(f\)的方向为负,则:$$-a=v$$

然而在数学意义上,函数\(v(t)\)的导函数为\(a(t)\),则:$$-v'(t)=v(t)$$

故\(v(t)=\text{e}^{-t+\lambda},\lambda \in \mathbb{R}\),这里的\(\lambda\)为常数。

\(t=0\)时,由题意可知,\(v=\text{e}^{\lambda}=1\),则\(\lambda=0\),\(v(t)=\text{e}^{-t}\),所以可见\(v>0\),故物体不能停下来。

$$L_{\text{min}}=\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t}\text{d}t=1\text{m}$$


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