复数与余弦和

发布于 2020-12-20  310 次阅读


一道题的感想

Problem:求\(\cos{\dfrac{\pi}{7}}+\cos{\dfrac{3\pi}{7}}+\cos{\dfrac{5\pi}{7}}\)的值

要是有耐心地算算就能知道这个和是\(\dfrac{1}{2}\)

但是,咋就会这么巧呢,几乎算不出来的三角函数值求和竟然得到如此

实在是好奇,上面的题是\(n=7\),咱就试试\(n=9,11\)啥的不行吗?

我拿出了我的CASIO……

结果

真香,全是\(\dfrac{1}{2}\)!!!

胡思乱想

猜想以下恒等式成立:$$\sum_{k=1}^{n}{\cos{\dfrac{2k-1}{2n+1}\pi}}=\dfrac{1}{2}$$

如此邪乎的三角函数和怎能想不到复数

大胆构造:设\(x_k\)为方程\(x^{2n+1}=-1\)的\(n\)个幅角在\((0,\pi)\)复根,则$$x_k=\cos{\dfrac{2k+1\pi}{2n-1}}+\text{i}\sin{\dfrac{2k-1\pi}{2n+1}}$$

不难想到\(\dfrac{1}{x_k}\)这个东西,也是根,而且范围都在\((\pi,2\pi)\)

考虑这个东西$$\omega_k=x_k+\dfrac{1}{x_k}=2\cos{\dfrac{2k-1}{2n+1}\pi}$$

以及\(x^{2n+1}+1=0\)即为$$(x+1)(x^{2n}-x^{2n-1}+\cdots-x+1)=0$$

而\(x\neq 0\),于是$$x^{n}-x^{n-1}+\cdots-\dfrac{1}{x^{n-1}}+\dfrac{1}{x^n}=0$$

这是个关于\(x+\dfrac{1}{x}\)的\(n\)次多项式,考察\(x^{n-1}\)的系数,可以先凑配出前两项$$F(x+\dfrac{1}{x})=(x+\dfrac{1}{x})^n-(x+\dfrac{1}{x})^{n-1}+\cdots$$

也即$$F(\omega)=\omega^{n}-\omega^{n-1}+\cdots=0$$

根据韦达定理,可以知道$$2\sum_{k=1}^{n}{\cos{\dfrac{2k-1}{2n+1}\pi}}=\sum_{k=1}^{n}{\omega_k}=1$$

于是$$\sum_{k=1}^{n}{\cos{\dfrac{2k-1}{2n+1}\pi}}=\dfrac{1}{2}$$

完事,反正就是挺有意思的

 

还有……

根据上面的过程,就可以想明白\(\cos{\dfrac{\pi}{7}},\cos{\dfrac{3\pi}{7}},\cos{\dfrac{5\pi}{7}}\)就是函数\(f(x)=8x^3-4x^2-4x+1\)的三个零点,于是乘积啥的都能求了。其他情况也一样,通过构造出多项式就啥都能写出来了!

The END


明月装饰了你的窗子,你装饰了别人的梦