平抛运动里的微分方程

发布于 2021-02-19  1.12k 次阅读


伟大的二级结论

在高中物理运动学中,不难知道平抛运动中有$$\begin{align}x&=v_0t\\y&=\dfrac{1}{2}gt^2\\v_x&=v_0\\v_y&=gt\end{align}$$

分别计算速度偏转角和位移偏转角,可知$$\begin{align}\tan\theta_x&=\dfrac{y}{x}=\dfrac{gt}{2v_0}\\\tan\theta_v&=\dfrac{v_y}{v_x}=\dfrac{gt}{v_0}\end{align}$$

所以就有了伟大的二级结论$$\tan\theta_v=2\tan\theta_x$$

深入思考

经过上述推导,可以得到以下结论(偷个懒,简单点写了)$$\text{轨迹为抛物线}\Rightarrow \tan\theta_v=2\tan\theta_x$$

是个充分条件

不过随便画画其他图象,都不满足这个性质了,随意不免就怀疑上述条件是个充要条件,也即还有$$\text{轨迹为抛物线}\Leftarrow \tan\theta_v=2\tan\theta_x$$

到底是不是呢?

由于最近自己看了看微分方程,也学到了一点东西,所以也弄明白了这个问题

Solution

要证明的命题可以化为$$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{2y}{x}$$

整理得到$$\dfrac{1}{y}\text{d}y=\dfrac{2}{x}\text{d}x$$

对两边积分,得(\(C\)为常数)$$2\ln|x|+C=\ln|y|$$

于是$$y=\pm\text{e}^Cx^2$$

由于\(\pm\text{e}^C\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\),所以轨迹必须是抛物线

所以说这是个充要条件,不是吗?

一点收获

所有的幂函数\(y=x^a\)都有这样的性质,在这上面运动的点有(参考点为\((0,0)\))$$\tan\theta_v=a\tan\theta_x$$

在高中知识水平范畴内,可以证明其充分性,使用高等数学中的微分方程,可以证明其必要性,这是一个非常有意思的结论。

最后一句话

处理未知解析式(或参数方程)的性质时,微分方程真香


明月装饰了你的窗子,你装饰了别人的梦