指数函数的放缩

发布于 2021-01-03  422 次阅读


感想

做导数题或者其他代数题的时候,难免会遇上要对\(\text{e}^x\)的放缩,但我们对放缩的方法可能只会局限于\(\text{e}^x\geq x+1\)这些非常弱的不等式,这就很闹挺了

级数

做过好几道单独证明对\(\text{e}^x\)的放缩的问题,于是有了一些发现:\(x\geq 0\)时,有$$\text{e}^x\geq x+1$$$$\text{e}^x\geq \dfrac{1}{2}x^2+x+1$$$$\text{e}^x\geq \dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{2}x^2+x+1$$

都在\(x=0\)取等,可谓香矣

于是就有了猜测,当\(x\geq 0,n\in\mathbb{N}_+\)时:$$\text{e}^x\geq \sum^{n}_{k=0}\dfrac{1}{k!}x^k$$

当且仅当\(x=0\)时取等

完美的形式

定义$$f_n(x)=\text{e}^x-\sum^{n}_{k=0}\dfrac{1}{k!}x^k$$\(n=1\)时
$$f_1(x)=\text{e}^x-x-1\geq 0$$
是成立的

接下来尝试数学归纳法

如果\(n\leq m\)时成立,则
$$f_{m+1}(x)=\text{e}^x-\sum^{m+1}_{k=0}\dfrac{1}{k!}x^k$$
\begin{align}
f_{m+1}'(x)&=\text{e}^x-\sum^{m+1}_{k=1}\dfrac{1}{k!}(k\cdot x^{k-1})\\&=\text{e}^x-\sum^{m+1}_{k=1}\dfrac{1}{(k-1)!}x^{k-1}\\&=\text{e}^x-\sum^{m}_{k=0}\dfrac{1}{k!}x^{k}\\&=f_m(x)
\end{align}那么可以得出
$$f_{m+1}'(x)=f_m(x)\geq 0$$

当且仅当\(x=0\)
$$f_{m+1}(x)_\text{min}=f_{m+1}(0)=0$$

$$\text{e}^x\geq \sum^{n}_{k=0}\dfrac{1}{k!}x^k$$

当且仅当\(x=0\)
所以\(n=m+1\)亦成立,因此对于任意的正整数\(n\),这个结论都成立,可以放心用了

拓展

事实上$$\text{e}^x=\sum^{\infty}_{k=0}\dfrac{1}{k!}x^k$$
因为设$$f(x)=\sum^{\infty}_{k=0}\dfrac{1}{k!}x^k$$
有$$f'(x)=f(x),f(0)=1$$
构造$$g(x)=\dfrac{f(x)}{\text{e}^x}$$
有$$g'(x)=\dfrac{f'(x)-f(x)}{\text{e}^x}=0$$
因此\(g(x)\)恒为常数,即\(f(x)=C\cdot\text{e}^x\)
又$$g(0)=f(0)=1$$故\(f(x)=\text{e}^x\)

再拓展

事实上:

\(0<x<1\)时
\(x+1<\dfrac{2}{x^2-2x+2}<1+x+\dfrac{x^2}{2}<\dfrac{2x+6}{x^2-4x+6}\)

\(<\dfrac{x^2+6x+12}{x^2-6x+12}<\text{e}^x<\dfrac{x^2+4x+6}{6-2x}<\dfrac{2+x}{2-x}<\dfrac{1}{1-x}\)

\(-1<x<0\)时
\(x+1<\dfrac{2+x}{2-x}<\dfrac{2x+6}{x^2-4x+6}<\text{e}^x\)

\(<\dfrac{x^2+6x+12}{x^2-6x+12}<\dfrac{x^2+4x+6}{6-2x}<\dfrac{2}{x^2-2x+2}<1+x+\dfrac{x^2}{2}<\dfrac{1}{1-x}\)

这个庞大的不等式请读者自行探究证明方式


明月装饰了你的窗子,你装饰了别人的梦