稀释一个不等式

发布于 2021-02-07  570 次阅读


Problem

例题:证明$$\sum_{cyc}\dfrac{2x^2+xy}{y+2z}\geq x+y+z$$

Solution

直接暴证代价太高,且看到了左边的式子的结构很有意思,不妨用右侧式稀释左侧

不等式两侧同时加上\(x+y+z\),得到$$\sum_{cyc}\dfrac{2x^2+2xy+2xz}{y+2z}\geq 2(x+y+z)$$

把\(x+y+z\)整下去,即可得到$$\sum_{cyc}\dfrac{x}{y+2z}\geq 1$$

这个不等式直接证也会死,此时再用\(x\)无损稀释分母和分子,得$$\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{xy+2xz}\geq 1$$

搬出来柯西不等式,就得到$$\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{xy+2xz}\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3(xy+yz+zx)}\geq 1$$

证毕

证明不等式的时候,我们可以适当借用稀释的思想,来获取有用的结构,同时还会适当加强不等式本身。总之,是个好方法!


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