有趣的问题

求证恒等式：$$\prod_{k=1}^{n-1}\sin{\dfrac{k\pi}{n}}=\dfrac{n}{2^{n-1}}$$

更有趣的解答

考虑方程\((x+1)^n=1\)的\(n-1\)个非零复根，设第\(k\)个根为\(x_k=-1+\cos{\dfrac{2\pi k}{n}}+\text{i}\sin{\dfrac{2\pi k}{n}}\)。

使用二倍角公式，有$$\begin{align} x_k & = -1+\cos{\dfrac{2\pi k}{n}}+\text{i}\sin{\dfrac{2\pi k}{n}} \\ & = 2\sin{\dfrac{k\pi}{n}}(-\sin{\dfrac{k\pi}{n}}+\text{i}\cos{\dfrac{k\pi}{n}}) \end{align}$$

因此\(|x_k|=2\sin{\dfrac{k\pi}{n}}\)

由于\(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}\)为方程\(\dfrac{(x+1)^n-1}{x}=0\)的\(n-1\)个复根，故\(\prod_{k=1}^{n-1}x_k=n\)

那么$$\begin{align} \prod_{k=1}^{n-1}\sin{\dfrac{k\pi}{n}} & = \dfrac{1}{2^{n-1}}\prod_{k=1}^{n-1}|x_k|\\ & = \dfrac{1}{2^{n-1}}\lvert\prod_{k=1}^{n-1}{x_k}\rvert \\ & = \dfrac{n}{2^{n-1}}\end{align}$$