若递推数列有特殊性质

发布于 2021-03-05  980 次阅读


Problem

:数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=a_2=2\),\(a_{n+2}=\dfrac{2a_{n+1}-3a_na_{n+1}+17a_n-16}{3a_{n+1}-4a_na_{n+1}+18a_n-17}(n\geq 1)\)。

证明:数列\(\{a_n\}\)中的项均有\(1+\dfrac{1}{m^2}\)的形式,其中\(m\in\mathbb{N}^*\)

Analyze

递推数列的平方形式性质很难得,不难会去想多列几项,得到\(a_3=\dfrac{10}{9}\),\(a_4=\dfrac{122}{121}\),想找找规律,可惜的是看不出来,不能使用数学归纳法。

我们不能一下摸清数列的递推规律,然而各个项的形式却永远一样

这就是这道题的闪光点吧~

Solution

首先看到\(1+\dfrac{1}{m^2}\)的形式不太友善,稍作变形,设\(b_k=a_k-1\)

稍作整理得到\(b_{n+2}=\dfrac{14b_n-4b_nb_{n+1}-b_{n+1}}{b_nb_{n+1}}\)发现还是不够友善,再取倒数,得到$$\dfrac{1}{b_{n+2}}=\dfrac{14}{b_{n+1}}-\dfrac{1}{b_n}-4$$

发现有点线性递推的意思,再换元\(c_k=\dfrac{1}{b_k}\),于是就有:$$c_{n+2}=14c_{n+1}-c_n-4,c_1=c_2=1$$

欲证明原题,只需证明\(c_k\)恒为完全平方数

再换元\(d_k=c_k-\dfrac{1}{3}\)(待定系数法统一形式,当然不同意也彳亍)

列出特征根方程\(x^2-14x+1=0\),得到两个特征根$$x_1=7+4\sqrt{3},x_2=7-4\sqrt{3}$$

咦,有平方?!

不管那么多,先写出$$d_n=A(7+4\sqrt{3})^{n-1}+B(7-4\sqrt{3})^{n-1},d_1=d_2=\dfrac{2}{3}$$

再列方程解\(A,B\)$$\left\{ \begin{array}{c} A+B=\dfrac{2}{3} \\  (7+4\sqrt{3})A+(7-4\sqrt{3})B=\dfrac{2}{3}\end{array} \right.$$

得到\(A=\dfrac{12-6\sqrt{3}}{36},B=\dfrac{12+6\sqrt{3}}{36}\),于是$$c_n=(\dfrac{3-\sqrt{3}}{6})^2(2+\sqrt{3})^{2n-2}+(\dfrac{3+\sqrt{3}}{6})^2(2-\sqrt{3})^{2n-2}+\dfrac{1}{3}$$

震惊,开平方(再换个元)得到$$e_n=\sqrt{c_n}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}(2+\sqrt{3})^{n-1}+\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}(2-\sqrt{3})^{n-1}$$

\(\{e_n\}\)也是线性递推数列,有\(e_1=e_2=1\),且满足特征根方程\(x^2-4x+1=0\),于是可以写出$$e_n=4e_{n-1}-e_{n-2}\in\mathbb{N}^*$$

那么\(m=c_k=e_k^2\),为完全平方数,原命题成立。

Conclusion

对于这类的每一项都具有特定性质的递推数列,可以先猜猜答案,试用数学归纳法。如果不行,就直接下手计算,从最根本处入手。一道题不是随便凑凑数就编出来的,我们就是要去算这个数是怎么编出来的


明月装饰了你的窗子,你装饰了别人的梦