一道自编烂题与三次方程求根

发布于 2023-06-19  793 次阅读


万恶之始

临近高考,柠檬猪为班级编写一套模拟题供大家娱乐学习,然而其中有一道题出现了非常严重的问题。

题目如下:

19. (12分)

日常生活中使用的A4纸的长宽比是\(\sqrt{2}:1\). 褚同学将一张A4纸进行折叠. 将该纸张视作矩形\(ABCD\), \(AB=2\sqrt{2}L,BC=2L\), 现在褚同学将\(B\)角翻折到\(CD\)边上得\(B^{\prime}\), 压实折痕, 要求折痕\(MN\)的端点\(M,N\)分别在边\(AB,BC\)上.

(1)求\(\angle B^{\prime}BC\)的最大值与最小值;

(2)褚同学想让折痕\(MN\)的长度为\(3L\),请问他能实现吗?若可以,求出\(\angle B^{\prime}BC\)的余弦值,若不可以,请说明理由.

结果大家都反映第二问算不出来方程的解,我仔细一看,MD,编数的时候编错了,检验一下发现正好存在一个满足题意的折痕。没招,只能将错就错硬算了。

死马当活马医

设\(\angle B^{\prime}BC=\theta\),易知\(\theta\in\left[\dfrac{\pi}{8},\dfrac{\pi}{4}\right]\)。(此即第一问,画图几何求角即可,不是本文重点,所以写成易知)

首先容易求得$$MN=L \cdot \frac{1}{\sin \theta}+L \tan \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta}=\frac{L}{\sin \theta \cos ^{2} \theta}$$
那么问题变成求\(\cos\theta\)的值,使得\(\sin \theta \cos ^{2} \theta=\dfrac{1}{3}\),也即\(\sin \theta-\sin ^{3} \theta=\dfrac{1}{3}\)

就下来就不得不解三次方程\(x^3-x+\dfrac{1}{3}=0\),这是一件非常头疼的事情。

那这种方程该怎么求解呢?

接下来就要聊聊如何解这样的三次方程——

三次方程求根

解方程:\(x^3-x+\dfrac{1}{3}=0\)

现在凑配解的形式:设\(x=\alpha+\beta\),则\(x^{3}=\alpha^{3}+\beta^{3}+3 \alpha \beta x\)

那么\(x\)就是三次方程\(x^{3}-3 \alpha \beta x-\left(\alpha^{3}+\beta^{3}\right)=0 \)的根

将系数做匹配,得$$\left\{\begin{aligned}
3\alpha\beta&=1\\
\alpha^3+\beta^3&=\dfrac{1}{3}
\end{aligned}\right.$$

稍加转化就可以列出以\(\alpha^3\)、\(\beta^3\)为根的二次方程,轻松解出\(\alpha^{3}=\dfrac{-\sqrt{3}+\text{i}}{6 \sqrt{3}},\beta^{3}=\dfrac{-\sqrt{3}-\text{i}}{6 \sqrt{3}}\)(颠倒无所谓)

那么该如何求得\(\alpha,\beta\)呢?显然直接写上开三次根号是鲁莽的,因为我们所谓的开根号只是实数上的,然而在复数上,使得\(x^3=t\)的\(x\)的值可能会有三个不同的结果,使得开根号不是单射。不写开根号,我们进而去寻找使得\(a^3=\alpha^3\)的\(a\)的值(对\(\beta\)同理)。

\(\alpha^{3}=\dfrac{-\sqrt{3}+\text{i}}{6 \sqrt{3}}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}\right)\),是模长为\(\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\),辐角主值为\(\dfrac{5\pi}{6}\)的复数,也就是\(\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\text{e}^{5\pi\text{i}/6}\)。

\(\beta^{3}=\dfrac{-\sqrt{3}-\text{i}}{6 \sqrt{3}}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}\right)\),是模长为\(\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\),辐角主值为\(-\dfrac{5\pi}{6}\)的复数,也就是\(\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\text{e}^{-5\pi\text{i}/6}\)。

复习一下复数乘法:复数\(r,s\)相乘得\(t\),则\(|t|=|r||s|,\text{Arg }t=\text{Arg }r+\text{Arg }s\)(也就是模长相乘,辐角相加)

模长是实数,可以开方。我们按照复数乘法性质算出

以下三组:$$
\left\{
\begin{aligned}
\alpha&=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{e}^{5\pi\text{i}/18} & &\frac{1}{\sqrt{3}}\text{e}^{17\pi\text{i}/18} & &\frac{1}{\sqrt{3}}\text{e}^{29\pi\text{i}/18}\\
\beta&=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{e}^{-5\pi\text{i}/18} & &\frac{1}{\sqrt{3}}\text{e}^{-17\pi\text{i}/18} & &\frac{1}{\sqrt{3}}\text{e}^{-29\pi\text{i}/18} \\
x&=\frac{2}{\sqrt{3}}\cos\frac{5\pi}{18} & &\frac{2}{\sqrt{3}}\cos\frac{17\pi}{18} & &\frac{2}{\sqrt{3}}\cos\frac{29\pi}{18}
\end{aligned}
\right.
$$

于是我们得到方程的解$$x_1=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{2\pi}{9},x_2=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{\pi}{9},x_3=-\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{4\pi}{9}$$

最后再回到原题,哪个解符合题意?

验证是容易的,我们得到符合题意的\(\sin\theta=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin\dfrac{\pi}{9}\),随之我们也会意识到求余弦值已经变得没有什么意义了。一个美妙的三角函数值作为三次方程的解,真的非常美妙——

等等,解三次方程这一代数味道非常冲的操作,到底是怎么扯进去三角函数的?我看看,把\(x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin\dfrac{\pi}{9}\)带入原方程,得到\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sin\dfrac{\pi}{9}-4\sin^3\dfrac{\pi}{9}\),嗯,再看看,哎呀???

脑海中飘过三倍角公式:\(\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)

三倍角公式也长得像三次方程的形式,所以……哦!我明白了!原来\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)这个数是这么来的……

到底是怎么来的?你也一定明白了。这臭而长的计算走了一个大曲线。不过反过来想想,能算出这样的结果,编数编错反而塞翁失马!

怎么解三次方程?

前面的过程中,我们给出了一个三次方程的解法(当然,有没有其他解法我也真的不知道了)

第一步:写成\(x^3-mx-n=0\)的形式

对于一般的方程\(ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)\),设\(x=x^\prime-\dfrac{b}{3a}\),则得到的关于\(x^\prime\)的三次方程就消去了二次项,最后所有系数都除以\(a\)即可,在这之后改为关心\(x^\prime\)(之后的步骤还是写成\(x\),当然,方程也是\(x^3-mx-n=0\)的形式).

注意:针对\(x\)的变形处理有时可以更灵活,不过这个步骤只是奇技淫巧罢了。随你便~

第二步:设\(x=\alpha+\beta\),匹配系数,列二次方程算出\(\alpha^3,\beta^3\)。

$$\left\{\begin{aligned}
3\alpha\beta&=m\\
\alpha^3+\beta^3&=n
\end{aligned}\right.$$

第三步:算出所有的复数\(\alpha\),记为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\),(相当于在复数上解三次方程\(x^3=\alpha^3\),这种方程显然不需要像带一次项的那么麻烦)。在已知\(\alpha\beta\)值的情况下,取\(\beta_i=\dfrac{\alpha\beta}{\alpha_i}\,(i=1,2,3)\)

如果出现\(\alpha\beta=0\)该怎么办?这好办啊,这样的方程可以直接解(因为已经有根\(x=0\))。

第四步:\(x_i=\alpha_i+\beta_i\,(i=1,2,3)\),解出三次方程的三个根!

超级难的课后作业:解方程:\(8x^3-4x^2-4x+1=0\)

超级敷衍的答案(无解析):\(x_1=\cos{\dfrac{\pi}{7}},x_2=\cos{\dfrac{3\pi}{7}},x_3=\cos{\dfrac{5\pi}{7}}\)(似乎不太容易)

超级敷衍的解析:这是切比雪夫多项式,解出来的另一种三角函数超怪的根,在本文超纲。能解出来根式的形式就行了,三角函数形式不强求。

现在难免会有个疑问:所有的一元三次方程的解都能写成三角函数相关形式吗?

答:这个可以留作一个留给读者琢磨的小问题(逃)

END

2023.6.19 14:05

两个PS:

(1)哎呀,柠檬猪编高考模拟题了?快发我看看!——哼!不给!当然,这个错题拿出来“展示”后,也将被移出试卷了。

(2)一道竞赛难度的新题目诞生了:褚同学设法使得折痕\(MN\)的长度为\(3L\)后,用剪刀将\(\triangle BMN\)剪下,放在水平面上。空间上有一点\(K\)使得\(KM\perp\text{平面}BMN\),且\(\angle MNK+\angle KNB=100^{\circ}\),求\(\dfrac{MN}{MK}\)。

答案不告诉你呦~自己思考!!!


明月装饰了你的窗子,你装饰了别人的梦