伟大的二级结论

在高中物理运动学中，不难知道平抛运动中有$$\begin{array}{rl}x& =v_{0}t\\ y& ={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2\\ v_x& =v_0\\ v_y& =gt\end{array}$$

分别计算速度偏转角和位移偏转角，可知$$\begin{array}{rl}\tan {\theta }_x& ={\displaystyle \frac{y}{x}}={\displaystyle \frac{gt}{2v_0}}\\ \tan {\theta }_v& ={\displaystyle \frac{v_y}{v_x}}={\displaystyle \frac{gt}{v_0}}\end{array}$$

所以就有了伟大的二级结论$$\tan {\theta }_v=2\tan {\theta }_x$$

深入思考

经过上述推导，可以得到以下结论（偷个懒，简单点写了）$$\text{轨迹为抛物线}\Rightarrow \tan {\theta }_v=2\tan {\theta }_x$$

是个充分条件

不过随便画画其他图象，都不满足这个性质了，随意不免就怀疑上述条件是个充要条件，也即还有$$\text{轨迹为抛物线}\Leftarrow \tan {\theta }_v=2\tan {\theta }_x$$

到底是不是呢？

由于最近自己看了看微分方程，也学到了一点东西，所以也弄明白了这个问题

Solution

要证明的命题可以化为$${\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}={\displaystyle \frac{2y}{x}}$$

整理得到$${\displaystyle \frac{1}{y}}\text{d}y={\displaystyle \frac{2}{x}}\text{d}x$$

对两边积分，得($C$为常数)$$2\ln |x|+C=\ln |y|$$

于是$$y=\pm {\text{e}}^C{x}^2$$

由于$\pm {\text{e}}^C\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$，所以轨迹必须是抛物线

所以说这是个充要条件，不是吗？

一点收获

所有的幂函数$y=x^a$都有这样的性质，在这上面运动的点有（参考点为$(0,0)$）$$\tan {\theta }_v=a\tan {\theta }_x$$

在高中知识水平范畴内，可以证明其充分性，使用高等数学中的微分方程，可以证明其必要性，这是一个非常有意思的结论。

最后一句话

处理未知解析式（或参数方程）的性质时，微分方程真香